Ley del coseno

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.

La ley de los cosenos establece:

  c ² = a ² + b ² – 2 ab cos C . 

Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

La ley de los cosenos también puede establecerse como 

 b ² = a ² + c ² – 2 ac cos B or 

 a ² = b ² + c ² – 2 bc cos A . 

Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo incluído-LAL 
   

Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.

 

   
   

  Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.

   
      

Ejemplo 2: Tres lados-LLL 
}                  

Dado a = 8, b = 19 y c = 14.  Encuentre las medidas de los ángulos.

 

  Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese es el lado b.

   

  Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. 
            

  B ≈ 116.80° 
              

  Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso, sabemos que el ángulo A y el ángulo C ambos son agudos.

  Para encontrar los otros dos ángulos, es más sencillo usar la ley de los senos.